如圖，是半圓的直徑，是半圓上除、外的一個動點，平面,，，，．

⑴證明：平面平面；
⑵試探究當在什么位置時三棱錐的體積取得最大值，請說明理由并求出這個最大值．
⑴是直徑，所以，因為平面，，所以平面因為，又因為，所以，所以平面ACD，因為平面，所以平面平面
⑵當為半圓弧中點時三棱錐的體積取得最大值，最大值為

試題分析：⑴因為是直徑，所以，因為平面，，因為，所以平面
因為，又因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以平面，因為平面，所以平面平面
⑵依題意，，
由⑴知，
，，等號當且僅當時成立，所以當為半圓弧中點時三棱錐的
體積取得最大值，最大值為
（備注：此時，，，設三棱錐的高為，則，）．
點評：第一問要證明兩面垂直只需證明其中一個平面內的一條直線垂直于另外一面，即轉化為證明線面垂直；第二問首先采用等體積法將所求椎體的體積轉化求解的角度，而后借助于均值不等式求得最大值
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面，四邊形中，，，，.
(Ⅰ)求證：平面平面；
(Ⅱ)設．
(ⅰ) 若直線與平面所成的角為，求線段的長；
(ⅱ) 在線段上是否存在一個點，使得點到點的距離都相等？說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：

(1)B，C，H，G四點共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知棱柱的底面是菱形，且面，，，為棱的中點，為線段的中點，

（Ⅰ）求證： 面；
（Ⅱ）判斷直線與平面的位置關系，并證明你的結論；
（Ⅲ）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，是中點，是中點.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD，

(I) 求證：平面PAD⊥平面PCD
(II)求二面角A－PC－D的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

正方體的棱線長為1，面對角線上有兩個動點E，F(xiàn)，且，則下列四個結論中① ②平面 ③三棱錐的體積為定值 ④異面直線所成的角為定值，其中正確的個數(shù)是
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

以下對于幾何體的描述，錯誤的是（   ）
A．以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球
B．一個等腰三角形繞著底邊上的高所在直線旋轉180º形成的封閉曲面所圍成的圖形叫做圓錐
C．用平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺
D．以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

三視圖如下的幾何體的體積為       。

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