Question

（本小題滿分12分）已知直角的三邊長,滿足 
(1)已知均為正整數(shù),且成等差數(shù)列,將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列,且,求滿足不等式的所有的值;
(2)已知成等比數(shù)列,若數(shù)列滿足,證明數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長均可以構(gòu)成直角三角形,且是正整數(shù).

Answer 1

(1) 2、3、4;(2)參考解析

試題分析：（1）已知直角三角形中三邊是正整數(shù)，并且成等差數(shù)列.由此可得首項(xiàng)與公差的關(guān)系.從而寫出三角形的面積的表達(dá)式.由于面積是從小到大排的，所以把公差.改成沒關(guān)系.由于數(shù)列的前項(xiàng)的和的特點(diǎn)是每項(xiàng)是一項(xiàng)正一項(xiàng)負(fù).所以相鄰的兩項(xiàng)用平方差公式化簡.即可得一個等差數(shù)列的求和的式子. 由得,由于指數(shù)函數(shù)是爆炸性的變化，所以要符合該不等式的不是很多，再由.利用二項(xiàng)式定理展開即可得時，.所以只有2,3,4三種情況.
（2）；因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032126553481.png" style="vertical-align:middle;" />成等比數(shù)列.解直角三角形三邊的關(guān)系可求得.所以可以寫出的表達(dá)式.在遞推一個式子.兩式相加，再利用==.從而可得.從而即可得解答結(jié)論.再說明前三項(xiàng)符合即可.
試題解析：(1)設(shè)的公差為,則
設(shè)三角形的三邊長為,面積,      2分


由得,
當(dāng)時,,
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時,,當(dāng)時,
綜上所述,滿足不等式的所有的值為2、3、4        6分
(2)證明因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032126553481.png" style="vertical-align:middle;" />成等比數(shù)列,.
由于為直角三角形的三邊長,知,,      8分
又,得,
于是

,則有.
故數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長均可以構(gòu)成直角三角形       10分
因?yàn)?,
,由數(shù)學(xué)歸納法得：
由,同理可得,
故對于任意的都有是正整數(shù)         12分