Question

【題目】已知函數．

（1）若在處的切線方程為，求實數、的值；

（2）設函數，（其中為自然對數的底數）．

①當時，求的最大值；

②若是單調遞減函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②.

【解析】

（1）由題意得出，可求出的值，計算出的值，再將點的坐標代入直線可求出實數的值；

（2）①將代入函數，求出其導數，構造函數，利用導數分析函數在區(qū)間上的單調性，可得出，進而判斷出函數在區(qū)間上的單調性，由此求出答案；

②由題意得出，對分、、三種情況討論，結合在上恒成立，可求出實數的取值范圍.

（1），，

由題意可得，解得，所以，，，

將點的坐標代入直線的方程得，解得.

因此，，；

（2）①當時，，則，

，

令，其中，則，

所以，函數在區(qū)間上單調遞增，則，則有.

因此，函數在區(qū)間上的最大值為；

②由于函數在區(qū)間上單調遞增，所以，

即，則.

（i）當時，，，

，

令，則，

即函數在區(qū)間上單調遞減，所以，，解得；

（ii）當時，，，

由（i）知，，又因為函數在區(qū)間上是單調遞減函數，

所以，對任意的恒成立，

即對任意的恒成立，

即，.

令，.

，

構造函數，則，

所以，函數在區(qū)間上單調遞減，故，即.

所以，，

即函數在區(qū)間上單調遞減，

所以，，，

又，；

（iii)當時，因為，

，

所以，函數在區(qū)間上單調遞增，

又，

則存在唯一的，使得，

所以，函數在區(qū)間上不單調.

綜上所述，實數的取值范圍是.