已知圓O的方程為x2+y2=2,PA,PB為該圓的兩條切線,A,B為兩切點,則
PA
PB
的最小值為( 。
分析:利用圓切線的性質:與圓心切點連線垂直;設出一個角,通過解直角三角形求出PA,PB的長;利用向量的數(shù)量積公式表示出
PA
PB
,利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡函數(shù),
通過換元,再利用基本不等式求出最值.
解答:解:設PA與PO的夾角為a,則|PA|=|PB|=
2
tanα

設y=
PA
PB
=|PA|•|PB|cos2α=
2
tan2α
•cos2α=
cos2α
sin2α
•2cos2α=
1+cos2α
1-cos2α
•2cos2α.
記cos2α=u,.則y=2
u(u+1)
1-u
=2×[(-u-2)+
2
1-u
]=2×[-3+(1-u)+
2
1-u
2
]≥2(-3+2
2
),
PA
PB
的最小值為-6+4
2
,
故選A.
點評:本題考查圓切線的性質、三角函數(shù)的二倍角公式、向量的數(shù)量積公式、基本不等式求函數(shù)的最值,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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