Question

【題目】設函數f（x）= + 的圖象關于y軸對稱，且a＞0．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在[0，2]的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）= + 的圖象關于y軸對稱，且a＞0，

∴f（x）是R上的偶函數，

故有f（﹣1）=f（1），即 + = + ，求得a=1，檢驗滿足條件

（2）解：由（1）知f（x）= +2x=2x+2﹣x．

設任意的0≤x1＜x2≤2，則

f（x1）﹣f（x2）= + ﹣（ + ）=（ ﹣ ）+（ ﹣ ）

=（ ﹣ ）+ =（ ﹣ ）（1﹣ ），

由題設可得， ﹣ ＜0，0＜ ＜1，1﹣ ＞0，

∴（ ﹣ ）（1﹣ ）＜0，即 f（x1）﹣f（x2）＜0，

故函數f（x）在[0，2]上單調遞增，

∵f（0）=2，f（2）= ，∴f（x）在[0，2]的值域為[2， ]

【解析】（1）根據題意可得f（x）是R上的偶函數，f（﹣1）=f（1），由此求得a的值．（2）先證明函數f（x）在[0，2]上單調遞增，結合f（0）=2，f（2）= ，可得 f（x）在[0，2]的值域．
【考點精析】本題主要考查了函數的值域的相關知識點，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最�。ù螅┲担�因此求函數的最值與值域，其實質是相同的才能正確解答此題．