Question

過點(diǎn)O（0，0）的圓C與直線y=2x-8相切于點(diǎn)P（4，0）．
（1）求圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），設(shè)P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動點(diǎn)，求|PB|+|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出圓的圓心坐標(biāo)，求出圓的半徑，即可求圓C的方程；
（2）求出點(diǎn)B關(guān)于直線l：x+y+2=0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)A，轉(zhuǎn)化|PB|+|PQ|為|PA|+|PQ|，然后求解它的最小值．

解答：解．（1）由已知得圓C經(jīng)過點(diǎn)P（4，0），
圓心在與y=2x-8垂直的直線y=-

1

2

x+2上，
它又在線段OP的中垂線x=2上，
所以

y=- 1 2 x+2 x=2

，
求得圓心C（2，1），半徑為

5

，
所以圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5…（4分）
（2）求得點(diǎn)B（0，2）關(guān)于直線l：x+y+2=0的對稱點(diǎn)A（-4，-2），
所以|PB|+|PQ|
=|PA|+|PQ|≥|AQ|≥|AC|-

5

=

(2+4)2+(1+2)2

=3

5

-

5

=2

5

，
所以|PB|+|PQ|的最小值是2

5

．…（9分）

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，對稱知識的應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．