已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=
1
2
AB=1，N為AB上一點，AB=4AN，M、S分別為PB、BC的中點．
（Ⅰ）求證：CM⊥SN；
（Ⅱ）求二面角P-CB-A的余弦值；
（Ⅲ）求直線SN與平面CMN所成角的大�。�
（Ⅰ）證明：以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系如圖．
則P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），
M（1，0，
1
2
），N（
1
2
，0，0），S（1，
1
2
，0），
CM
=(1，-1，
1
2
)，
SN
=(-
1
2
，-
1
2
，0)，
∵
CM
?
SN
=(1，-1，
1
2
)?(-
1
2
，-
1
2
，0)=0，
∴CM⊥SN．
（Ⅱ）設(shè)
m
=(0，0，1)為平面CBA的法向量，
CB
=(2，-1，0)，
PC
=(0，1，-1)，
設(shè)
n
=(x，y，z)為平面PCB的一個法向量
則
2x-y=0
y-x=0
令x=1得
n
=(1，2，2，)，
cos?＜
m
，
n
＞=
m
?
n
|m|
|n|
=
2
3
，
二面角P-CB-A的余弦值為
2
3
．
（Ⅲ）同理可得平面CMN的一個法向量
a
=(2，1，-2)
設(shè)直線SN與平面CMN所成角為θ，
∵sinθ=|cos＜
SN
，
a
＞|=
2
2
，
∴SN與平面CMN所成角為45°．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四面體中，，，且分別為的中點．
（1）求證：；
（2）在棱上是否存在一點，使得∥平面？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于O，AB=4，AD=3．沿AC把△ACD折起，使二面角D1-AC-B為直二面角．
（1）求直線AD1與直線DC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-DD1-C的平面角正弦值大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，DD1=2
2
，則AC1與面BDD1所成角的大小是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BC1與平面BB1D1D所成的角是（　　）
A．90°B．60°C．45°D．30°

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱長都是2，D是棱AC的中點，E是棱CC1的中點，AE交A1D于點H．
（1）求證：AE⊥平面A1BD；
（2）求二面角D-BA1-A的大�。ㄓ梅慈呛瘮�(shù)表示）
（3）求點B1到平面A1BD的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

[理]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中點，H為平面EDB內(nèi)一點，
HC1
={2m，-2m，-m}(m＜0)
（1）證明HC1⊥平面EDB；
（2）求BC1與平面EDB所成的角；
（3）若正方體的棱長為a，求三棱錐A-EDB的體積．
[文]若數(shù)列{an}的通項公式an=
1
(n+1)2
(n∈N+)，記f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an）．
（1）計算f（1），f（2），f（3）的值；
（2）由（1）推測f（n）的表達式；
（3）證明（2）中你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=
π
4
，PA⊥底面ABCD，PA=2，M為PA的中點，N為BC的中點．AF⊥CD于F，如圖建立空間直角坐標系．
（Ⅰ）求出平面PCD的一個法向量并證明MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

一個多面體的直觀圖及三視圖分別如圖1和圖2所示（其中正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視圖是直角三角形），M、N分別是AB1、A1C1的中點，MN⊥AB1．


（Ⅰ）求實數(shù)a的值并證明MN∥平面BCC1B1；
（Ⅱ）在上面結(jié)論下，求平面AB1C1與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

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