Question

如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，，，的面積為.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點？若存在，求圓的方程，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在滿足條件的圓，其方程為.

試題分析：（1）由題設(shè)知其中
由,結(jié)合條件的面積為，可求的值，再利用橢圓的定義和勾股定理即可求得的值，從而確定橢圓的標準方程；
（2）假設(shè)存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點；設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個交點為由圓的對稱性可知，利用在圓上及確定交點的坐標，進而得到圓的方程.
解：（1）設(shè)，其中，
由得
從而故.
從而，由得，因此.
所以，故
因此，所求橢圓的標準方程為：

（2）如圖，設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓相交，是兩個交點，，,是圓的切線，且由圓和橢圓的對稱性，易知
，
由（1）知，所以，再由得，由橢圓方程得，即，解得或.
當時，重合，此時題設(shè)要求的圓不存在.
當時，過分別與,垂直的直線的交點即為圓心，設(shè)
由得而故
圓的半徑
綜上，存在滿足條件的圓，其方程為：