Question

（08年遼寧卷理）在數(shù)列中,,且成等差數(shù)列,成等比數(shù)列.

⑴求及,由此猜測的通項(xiàng)公式,并證明你的結(jié)論;

⑵證明:.

Answer 1

說明：本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)學(xué)歸納法，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力．滿分12分．

解析：

（Ⅰ）由條件得

由此可得

．?????????????????????????????????????? 2分

猜測．????????????????????????????????????? 4分

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立．

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即

，

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

．

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．

由①②，可知對(duì)一切正整數(shù)都成立．?????????????????????????????? 7分

（Ⅱ）．

n≥2時(shí)，由（Ⅰ）知．????????????????????????????????? 9分

故

綜上，原不等式成立． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分