設(shè)數(shù)列a
n的前n項(xiàng)的和為S
n,a
1=1,2S
n=(n+1)a
n+1-1
(1)求數(shù)列a
n的通項(xiàng)公式;
(3)求證:數(shù)列
{2}是等比數(shù)列;
(3)設(shè)數(shù)列b
n是等比數(shù)列且b
1=2,a
1,a
3,b
2成等比數(shù)列,T
m為b
n的前m項(xiàng)的和,
Pm=(-3)•2m-1-1,試比較T
m與P
m的大小,并加以證明.
分析:(1)當(dāng)n≥2時,2a
n=2S
n-2S
n-1=(n+1)a
n+1-1-(na
n-1),即
=,而當(dāng)n=1時,2S
1=2a
2-1,
an=••••a2=••••=,當(dāng)n=1時,a
1=1符合上式,故
an=.
(2)由
an+1=,知
2Sn=(n+1)an+1-1=-1,
2Sn=,
=,
-=-=,由此能夠證明
{2}是以2為首項(xiàng)
為公比的等比數(shù)列.
(3)由a
3=2,a
1,a
3,b
2成等比數(shù)列,知b
2=4,
=2Tm==2m+1-2,由此入手能夠得到當(dāng)1≤m≤3且n∈N
*時,P
m<T
m,當(dāng)m≥4且n∈N
*時,P
m>T
m.
解答:解:(1)當(dāng)n≥2時,2a
n=2S
n-2S
n-1=(n+1)a
n+1-1-(na
n-1)
即(n+1)a
n+1=(n+2)a
n即
=(2分)
而當(dāng)n=1時,2S
1=2a
2-1,
∴
a2==,(3分)
∴
an=••••a2=••••=而當(dāng)n=1時,a
1=1符合上式,綜上
an=(4分)
(2)證明:由(1)
an+1=,
∴
2Sn=(n+1)an+1-1=-1∴
2Sn=(6分)
∴
=∴
-=-=∴當(dāng)n≥2時
=2=∴
{2}是以2為首項(xiàng)
為公比的等比數(shù)列..(8分)
(3)由(1)a
3=2
∵a
1,a
3,b
2成等比數(shù)列∴a
1b
2=a
32∴b
2=4
∴
=2Tm==2m+1-2(9分)
而由(2)
=2+(n-1)•=n+∴
Pm=(-3)•2m-1-1=[2(m+)-3]•2m-1-1=m•2m-1-1.(10分)
∴P
m-T
m=m•2
m-1-1-(2
m+1-2)=(m-4)•2
m-1+1
當(dāng)1≤m≤3且n∈N
*時,P
m<T
m當(dāng)m≥4且n∈N
*時,P
m>T
m(12分)
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法、等比數(shù)列的證明和數(shù)列前m項(xiàng)和的比較,解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘隱含條件.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2012-2013學(xué)年江蘇省蘇州市張家港市梁豐高級中學(xué)高三(上)周日數(shù)學(xué)試卷(6)(解析版)
題型:解答題
已知二次函數(shù)f(x)=ax
2+bx滿足條件:①f(0)=f(1);②f(x)的最小值為
.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)數(shù)列{a
n}的前n項(xiàng)積為T
n,且
,求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,求數(shù)列{na
n}的前n項(xiàng)的和.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2012-2013學(xué)年江蘇省蘇州市張家港市梁豐高級中學(xué)高三(上)周日數(shù)學(xué)試卷(6)(解析版)
題型:解答題
已知二次函數(shù)f(x)=ax
2+bx滿足條件:①f(0)=f(1);②f(x)的最小值為
.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)數(shù)列{a
n}的前n項(xiàng)積為T
n,且
,求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,求數(shù)列{na
n}的前n項(xiàng)的和.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2010年湖南省益陽市箴言中學(xué)高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)(解析版)
題型:解答題
已知二次函數(shù)f(x)=ax
2+bx滿足條件:①f(0)=f(1);②f(x)的最小值為
.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)數(shù)列{a
n}的前n項(xiàng)積為T
n,且
,求數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,求數(shù)列{na
n}的前n項(xiàng)的和.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:2011年江蘇省誠賢中學(xué)高三數(shù)學(xué)試卷(解析版)
題型:解答題
已知二次函數(shù)f(x)=ax
2+bx滿足條件:①f(0)=f(1);②f(x)的最小值為
.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)數(shù)列{a
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n,且
,求數(shù)列{a
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(3)在(2)的條件下,求數(shù)列{na
n}的前n項(xiàng)的和.
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