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如圖,四棱錐P—ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分別是AB、PD的中點,又二面角P-CD-B為45°.

(1)求證:AF∥平面PEC;

(2)求證:平面PEC⊥平面PCD;

(3)設AD=2,CD=2,求點A到平面PEC的距離.

剖析:對問題(1),關鍵是證明AF與平面PEC內的一條直線平行,為此可取PC的中點G,論證AF∥EG;對問題(2),可轉化為證明線面垂直;對問題(3),可轉化為求點F到平面PEC的距離,進而可以充分運用(2)的結論.

(1)證明:取PC的中點G,連結EG、FG.

    ∵F是PD的中點,

    ∴FG∥CD且FG=CD.

    而AE∥CD且AE=CD,

    ∴EA∥GF且EA=GF,

    故四邊形EGFA是平行四邊形,從而EG∥AF.

    又AF平面PEC,EG平面PEC,

    ∴AF∥平面PEC.

(2)證明:∵PA⊥平面ABCD,

    ∴AD是PD在平面ABCD上的射影.

    又CD⊥AD,

    ∴CD⊥PD,∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角.

    ∴∠ADP=45°,則AF⊥PD.

    又AF⊥CD,PD∩CD=D,

    ∴AF⊥平面PCD.

    由(1),EG∥AF,

    ∴EG⊥平面PCD.

    而EG平面PEC,

    ∴平面PEC⊥平面PCD.

(3)解:過F作FH⊥PC交PC于點H,又平面PEC⊥平面PCD,則FH⊥平面PEC,

    ∴FH為點F到平面PEC的距離,而AF∥平面PEC,故FH等于點A到平面PEC的距離.

在△PFH與△PCD中,

    ∵∠FHP=∠CDP=90°,∠FPC為公共角,

    ∴△PFH∽△PCD,=.

    ∵AD=2,CD=2,PF=,PC==4,

    ∴FH=·2=1.

    ∴點A到平面PEC的距離為1.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大�。划斊矫鍭BCD內有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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