Question

（本題滿分12分）

如圖所示，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)證明：PQ⊥平面DCQ；

(2)求棱錐Q－ABCD的體積與棱錐P－DCQ的體積的比值．

 

Answer 1

【答案】

(1)證明：見解析；(2) 1:1.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理證明本題是解決本題的關(guān)鍵，要在平面中尋找與已知直線垂直的兩條相交直線，進行線面關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化；

（Ⅱ）利用體積的計算方法將本題中的體積計算出來是解決本題的關(guān)鍵，掌握好錐體的體積計算公式．

解：                                 

(1)證明：由條件知PDAQ為直角梯形．

因為QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD.

又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，

所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，則PQ⊥QD.

所以PQ⊥平面DCQ.

(2)解：設(shè)AB＝a.

由題設(shè)知AQ為棱錐Q－ABCD的高，所以棱錐Q－ABCD的體積V₁＝a³.

由(1)知PQ為棱錐P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面積為a²，

所以棱錐P－DCQ的體積V₂＝a³.

故棱錐Q－ABCD的體積與棱錐P－DCQ的體積的比值為1:1.

考點：本試題主要考查了空間中線面垂直的判定方法，考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直，注意步驟的規(guī)范性，考查學生對錐體的體積的計算方法的認識，考查學生的幾何計算知識．

點評：解決該試題中一定要注意步驟的規(guī)范性以及對于線面垂直的性質(zhì)定理的靈活運用。