某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種試銷產(chǎn)品,每件銷售收入分別為3千元、2千元.甲、乙產(chǎn)品都需要在A、B兩種設(shè)備上加工,在每臺A、B上加工一件甲所需工時(shí)分別為1工時(shí)、2工時(shí),加工一件乙所需工時(shí)分別為2工時(shí)、1工時(shí),A、B兩種設(shè)備每月有效使用臺時(shí)數(shù)為a(400≤a≤500).求生產(chǎn)收入最大值的范圍.
分析:先設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品月產(chǎn)量分別為x、y件,寫出約束條件、目標(biāo)函數(shù),欲求生產(chǎn)收入最大值的范圍,即求可行域中的最優(yōu)解,在線性規(guī)劃的解答題中建議使用直線平移法求出最優(yōu)解,即將目標(biāo)函數(shù)看成是一條直線,分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距的關(guān)系,進(jìn)而求出最優(yōu)解.注意:最后要將所求最優(yōu)解還原為實(shí)際問題.
解答:解:設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品月產(chǎn)量分別為x、y件,
約束條件是
目標(biāo)函數(shù)是z=3x+2y,
由約束條件畫出可行域,如圖.將z=3x+2y變形為y=-
x+
,
這是斜率為-
,隨z變化的一簇直線.
是直線在y軸上的截距,當(dāng)
最大時(shí)z最大,
當(dāng)然直線要與可行域相交,即在滿足約束條件時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值.
由
解得
在這個(gè)問題中,使z=3x+2y取得最大值的(x,y)是兩直線2x+y=a與x+2y=a的交點(diǎn)(
,
).
∴z=3•
+2•
=
a.
又∵400≤a≤500
,∴
≤z≤
.
故月生產(chǎn)收入最大值的范圍是[
,
].
點(diǎn)評:在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時(shí),其步驟為:①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系,列出不等式組,即約束條件?②由約束條件畫出可行域?③分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系?④使用平移直線法求出最優(yōu)解?⑤還原到現(xiàn)實(shí)問題中.