Question

（2013•松江區(qū)一模）已知遞增的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且a₁、a₂、a₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}對任意n∈N^*，都有

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=an+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₂的值．
（3）若bn=

an+1

an

（n∈N^*），求證：數(shù)列{b_n}中的任意一項(xiàng)總可以表示成其他兩項(xiàng)之積．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為d（d＞0），由a₁、a₂、a₄成等比數(shù)列，能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
（2）由a_n+1=n+1，

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=n+1對n∈N^*都成立，能推導(dǎo)出cn=

4，(n=1) 2n，(n≥2)

，由此能求出c₁+c₂+…+c₂₀₁₂的值．
（3）對于給定的n∈N^*，若存在k，t≠n，k，t∈N^*，使得b_n=b_k•b_t，由bn=

n+1

n

，只需

n+1

n

=

k+1

k

•

t+1

t

，由此能夠證明數(shù)列{b_n}中的任意一項(xiàng)總可以表示成其他兩項(xiàng)之積．

解答：解：（1）∵{a_n}是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為d（d＞0）…（1分）
∵a₁、a₂、a₄成等比數(shù)列，
∴

a

2 2

=a1•a4…（2分）
由  （1+d）²=1×（1+3d）及d＞0，得d=1，…（3分）
∴a_n=n（n∈N^*）．…（4分）
（2）∵a_n+1=n+1，

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=n+1對n∈N^*都成立，
當(dāng)n=1時(shí)，

c1

2

=2，得c₁=4，…（5分）
當(dāng)n≥2時(shí)，由

c1

2

+

c2

22

+…+

cn

2n

=n+1，①
及

c1

2

+

c2

22

+…+

cn-1

2n-1

=n，②
①-②得

cn

2n

=1，得cn=2n…（7分）
∴cn=

4，(n=1) 2n，(n≥2)

．…（8分）
∴c1+c2+…+c2012=4+22+23+…+22012=4+

22(1-22011)

1-2

=22013…（10分）
（3）對于給定的n∈N^*，若存在k，t≠n，k，t∈N^*，使得b_n=b_k•b_t…（11分）
∵bn=

n+1

n

，只需

n+1

n

=

k+1

k

•

t+1

t

，…（12分）
即1+

1

n

=(1+

1

k

)•(1+

1

t

)，即

1

n

=

1

k

+

1

t

+

1

kt

即kt=nt+nk+n，t=

n(k+1)

k-n

取k=n+1，則t=n（n+2）…（14分）
∴對數(shù)列{b_n}中的任意一項(xiàng)bn=

n+1

n

，
都存在bn+1=

n+2

n+1

和bn2+2n=

n2+2n+1

n2+2n

，
使得bn=bn+1•bn2+2n．…（16分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，綜合性強(qiáng)，對數(shù)學(xué)思維的要求較高，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．