【題目】(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=-2lnx+x2-2ax+a2,其中a>0.
(Ⅰ)設g(x)為f(x)的導函數(shù),討論g(x)的單調性;
(Ⅱ)證明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內有唯一解.
【答案】(Ⅰ)當x∈(0,1)時,g'(x)<0,g(x)單調遞減
當x∈(1,+∞)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增
(Ⅱ)見解析
【解析】(Ⅰ)由已知,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)
g(x)=f '(x)=2(x-1-lnx-a)
所以g'(x)=2-
當x∈(0,1)時,g'(x)<0,g(x)單調遞減
當x∈(1,+∞)時,g'(x)>0,g(x)單調遞增
(Ⅱ)由f '(x)=2(x-1-lnx-a)=0,解得a=x-1-lnx
令Φ(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx
則Φ(1)=1>0,Φ(e)=2(2-e)<0
于是存在x0∈(1,e),使得Φ(x0)=0
令a0=x0-1-lnx0=u(x0),其中u(x)=x-1-lnx(x≥1)
由u'(x)=1-≥0知,函數(shù)u(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調遞增
故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1
即a0∈(0,1)
當a=a0時,有f '(x0)=0,f(x0)=Φ(x0)=0
再由(Ⅰ)知,f '(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調遞增
當x∈(1,x0)時,f '(x)<0,從而f(x)>f(x0)=0
當x∈(x0,+∞)時,f '(x)>0,從而f(x)>f(x0)=0
又當x∈(0,1]時,f(x)=(x-a0)2-2xlnx>0
故x∈(0,+∞)時,f(x)≥0
綜上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內有唯一解.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>倍,縱坐標不變,得到曲線,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,射線與曲線交于點,將射線繞極點逆時針方向旋轉交曲線于點.
(1)求曲線的參數(shù)方程;
(2)求面積的最大值.
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【題目】如圖,在三棱柱中,,側面是邊長為2的正方形,點、分別是線段,的中點,且.
(1)證明:平面平面;
(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】我國南北朝數(shù)學家何承天發(fā)明的“調日法”是程序化尋求精確分數(shù)來表示數(shù)值的算法,其理論依據(jù)是:設實數(shù)的不足近似值和過剩近似值分別為和,則是的更為精確的不足近似值或過剩近似值.我們知道,若令,則第一次用“調日法”后得是的更為精確的過剩近似值,即,若每次都取最簡分數(shù),那么第四次用“調日法”后可得的近似分數(shù)為( )
A.B.C.D.
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【題目】設函數(shù)f(x)=(x2-1)lnx-x2+2x.
(1)求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;
(2)證明:f(x)≥1.
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【題目】
已知函數(shù) 有極值,且函數(shù)的極值點是的極值點,其中是自然對數(shù)的底數(shù).(極值點是指函數(shù)取得極值時對應的自變量的值)
(1)求關于的函數(shù)關系式;
(2)當時,若函數(shù)的最小值為,證明: .
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【題目】某班級體育課進行一次籃球定點投籃測試,規(guī)定每人最多投3次,每次投籃的結果相互獨立.在處每投進一球得3分,在處每投進一球得2分,否則得0分.將學生得分逐次累加并用表示,如果的值不低于3分就判定為通過測試,立即停止投籃,否則應繼續(xù)投籃,直到投完三次為止.現(xiàn)有兩種投籃方案:方案1:先在處投一球,以后都在處投;方案2:都在處投籃.已知甲同學在處投籃的命中率為,在處投籃的命中率為.
(1)若甲同學選擇方案1,求他測試結束后所得總分的分布列和數(shù)學期望;
(2)你認為甲同學選擇哪種方案通過測試的可能性更大?說明理由.
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【題目】在中,,.已知分別是的中點.將沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,連接,如圖:
(1)證明:平面平面
(2)求平面與平面所成二面角的大小.
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【題目】某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:
以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù),表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).
(Ⅰ)求的分布列;
(Ⅱ)若要求,確定的最小值;
(Ⅲ)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應選用哪個?
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