在三棱錐PABC中，PA、PB、PC兩兩成角，PA＝a，PB＝b，PC＝c，求三棱錐P－ABC的體積．

答案：
解析：

 　　思路　　本題實(shí)際是平行六面體內(nèi)的一角，關(guān)鍵是求高

　　思路　　本題實(shí)際是平行六面體內(nèi)的一角，關(guān)鍵是求高．

　　解答　　如圖，設(shè)頂點(diǎn)A在平面PBC的射影為H，連結(jié)PH．由已知，PA、PB、PC兩兩成角，

　　∴PH是∠BPC的平分線，在平面PBC上，過H作HE⊥PB，

　　連結(jié)AE，∴AE⊥PE．在Rt△PAH中，PH＝PA·cos∠APH，

　　在Rt△PHE中，PE＝PHcos∠HPE，∠PA·cos∠HPE，

　　∴cos∠APE＝cos∠APH·cos∠HPE．

　　∵∠APE＝，∠HPE＝，∴cos∠APH＝，

　　sin∠APH＝．

　　∵PA＝a，∴AH＝a，S△PBC＝bcsin＝bc．

　　∴VP－ABC＝S△PBC·AH＝×bc×a＝abc．

　　評(píng)析　　(1)把A、B、C中的任一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)(其余三點(diǎn)構(gòu)成的三角形作為底面)是解題的關(guān)鍵，這說明改變幾何體的放置方式或改變對(duì)幾何體的觀察角度在解題中是十分重要的．(2)當(dāng)a＝b＝c時(shí)，得到正四面體的體積是a3．(3)若在PA、PB、PC上各任取一點(diǎn)M、N、R，設(shè)PM＝m，PN＝n，PR＝r，則容易證明＝，這一結(jié)論與PA、PB、PC成多大的角無關(guān)．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=
2
PC=
2
AC=
2
BC．
（Ⅰ）求證：PA⊥BC； 
（Ⅱ）求二面角P-AB-C所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三棱錐P-ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，PA=1  面PAB⊥面CAB，面PAC⊥面CAB，則三棱錐P-ABC的體積是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC．
（1）若∠BAC=
π3
，AB=AC=PA=2，E、F分別為棱AB、PC的中點(diǎn)，求線段EF的長(zhǎng)；
（2）求證：“∠PBC=90°”的充要條件是“平面PBC⊥平面PAB”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•蚌埠二模）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分別為AB，AC中點(diǎn)．
（I）求證：DE∥面PBC；
（II）求證：AB⊥PE；
（III）求三棱錐B-PEC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側(cè)棱PC上一點(diǎn)，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示．
（1）證明：AD⊥平面PBC；
（2）求三棱錐D-ABC的體積．

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