Question

如圖，設點F是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點，直線l的方程為x=-

a2

c

，直線l與x軸交于點P，線段MN為橢圓的長軸，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求橢圓的C的標準方程；
（2）若過點P且斜率為

1

4

的直線AB與橢圓交于A、B兩點，求弦長|AB|
（3）若過點P的直線AB與橢圓交于A、B 兩點，求△ABF的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由|MN|=8求出a，再由|PM|=2|MF|得到關于c的方程，求出c的值，由b²=a²-c²求出b²，則橢圓方程可求；
（2）求出直線AB的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，由弦長公式求解|AB|；
（3）設出過P的直線AB的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關于y的方程，由根與系數(shù)的關系求出A，B兩點縱坐標差的絕對值，把△ABF的面積轉化為S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF，代入縱坐標的差的絕對值后利用基本不等式求最值．

解答：解：（1）由|MN|=8⇒a=4，
|PM|=2|MF|⇒

a2

c

-a=2(a-c)⇒

16

c

-4=2(4-c)，
∴c²-6c+8=0⇒c=2或4（舍），
∴b²=a²-c²=16-4=12，
∴橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）由（1）知，點P坐標為（-8，0），得直線AB方程為y=

1

4

(x+8)=

1

4

x+2，
聯(lián)立

y= 1 4 x+2 x2 16 + y2 12 =1

，得13x²+16x-128=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

16

13

，x1x2=-

128

13

，
∴|AB|=

1+ 1 16

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

17 16

•

(- 16 13 )2-4×(- 128 13 )

=

12

13

51

；
（3）由已知圖形得：S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF=

1

2

×|PF|×|y2-y1|=3|y2-y1|，
設過點P的直線方程為x+8=my，
聯(lián)立

x=my-8 x2 16 + y2 12 =1

，得（3m²+4）y²-48my+144=0．
得△=（48m）²-4×144×（3m²+4）=4×144×（m²-4），
∴m²-4＞0．
y1+y2=

48m

3m2+4

，y1y2=

144

3m2+4

，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 48m 3m2+4 )2-4• 144 3m2+4

=

24 m2-4

3m2+4

．
因此S△ABF=

24 m2-4

m2+ 4 3

，
變形得：S△ABF=

24

m2-4 + 16 3 m2-4

≤3

3

，
當且僅當

m2-4

=

16 3

m2-4

，即m=±

2 21

3

時等號成立．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，訓練了弦長公式的應用，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，考查了利用基本不等式求最值，是一道綜合性較強的題目．