Question

已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x³+ax，g（x）=x²+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f′（x）g′（x）≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間I上單調(diào)性一致
（1）設(shè)a＞0，若函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[-1，+∞）上單調(diào)性一致，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）設(shè)a＜0，且a≠b，若函數(shù)f（x）和g（x）在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a-b|的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，再利用函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[-1，+∞）上單調(diào)性一致即f'（x）g'（x）≥0在[-1，+∞）上恒成立，以及3x²+a＞0，來求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分別求出兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，綜合在一起看何時函數(shù)f（x）和g（x）在以a，b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，進(jìn)而求得|a-b|的最大值．

解答：解：f'（x）=3x²+a，g'（x）=2x+b．
（1）由題得f'（x）g'（x）≥0在[-1，+∞）上恒成立．因?yàn)閍＞0，故3x²+a＞0，
進(jìn)而2x+b≥0，即b≥-2x在[-1，+∞）上恒成立，所以b≥2．
故實(shí)數(shù)b的取值范圍是[2，+∞）
（2）令f'（x）=0，得x=±

- a 3

．
若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因?yàn)閒'（0）g'（0）=ab＜0，
所以函數(shù)f（x）和g（x）在（a，b）上不是單調(diào)性一致的．
因此b≤0．
現(xiàn)設(shè)b≤0，當(dāng)x∈（-∞，0）時，g'（x）＜0；
當(dāng)x∈（-∝，-

- a 3

）時，f'（x）＞0．
因此，當(dāng)x∈（-∝，-

- a 3

）時，f'（x）g'（x）＜0．故由題設(shè)得a≥-

- a 3

且b≥-

- a 3

，
從而-

1

3

≤a＜0，于是-

1

3

＜b＜0，因此|a-b|≤

1

3

，且當(dāng)a=-

1

3

，b=0時等號成立，
又當(dāng)a=-

1

3

，b=0時，f'（x）g'（x）=6x（x²-

1

9

），從而當(dāng)x∈（-

1

3

，0）時f'（x）g'（x）＞0．
故函數(shù)f（x）和g（x）在（-

1

3

，0）上單調(diào)性一致，因此|a-b|的最大值為

1

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．