已知函數(shù)
對任意
都有
,若
的圖象關(guān)于直線
對稱,且
,則
分析:先由函數(shù)f(x-1)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱,即函數(shù)f(x)是偶函數(shù),故有f(-x)=f(x).再把-2代入f(x+4)-f(x)=2f(2),可得函數(shù)周期為4;就把f(2011)轉(zhuǎn)化為f(3)=f(-1)=f(1)即可求解.
解:∵函數(shù)f(x-1)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,
∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱,即函數(shù)f(x)是偶函數(shù),
∴f(-x)=f(x).
∵對任意x∈R,都有f(x+4)-f(x)=2f(2),
∴f(-2+4)=f(-2)+2f(2)
∴f(-2)+f(2)=0,
即2f(2)=0,
∴f(2)=0.
∴f(x+4)=f(x)+2f(2)=f(x),即函數(shù)周期為4.
∴f(2011)=f(4×502+3)=f(3)=f(-1)=f(1)=2.
故選A.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
若函數(shù)
對任意的
,均有
,則稱函數(shù)
具有性質(zhì)
.
(Ⅰ)判斷下面兩個函數(shù)是否具有性質(zhì)
,并說明理由.
①
; ②
.
(Ⅱ)若函數(shù)
具有性質(zhì)
,且
(
),
求證:對任意
有
;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,是否對任意
均有
.若成立給出證明,若不成立給出反例.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)函數(shù)
,則
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
,其中
,
在
及
處取得極值,其中
.
(1)求證:
;
(2)求證:點
的中點
在曲線
上.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
函數(shù)
的反函數(shù)是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
函數(shù)
的定義域為
,且
為奇函數(shù),當(dāng)
時,
,則直線
與函數(shù)
圖象的所有交點的橫坐標之和是 ▲
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
下列四個結(jié)論中,正確結(jié)論的序號是
①函數(shù)
與
的圖像關(guān)于直線
對稱;②為了得到函數(shù)
的圖象,只需把函數(shù)
的圖象上的所有點向右平移
個單位長度; ③當(dāng)
或
時,
冪函數(shù)
的圖象都是一條直線;④已知函數(shù)
,
若
互不相等,且
,則
的取值
范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
.已知函數(shù)
,右下圖表示的是給定
的值,求其
對應(yīng)的函數(shù)值
的程序框圖,①處應(yīng)填寫 ;
②處
應(yīng)填寫 。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)f(x)是定義在R上的以4為周期的函數(shù),”當(dāng)x∈(-1,3]時,f(x)=
其中t>0.若函數(shù)y=
-
的零點個數(shù)是5,則t的取值范
圍為
A.(,1) | B.(,) | C.(1,) | D.(1,+∞) |
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