Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*，已知b₁=m，b2=

3m

2

，其中m≠0．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的首項和公比；
（Ⅱ）當(dāng)m=1時，求b_n；
（Ⅲ）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若對于任意的正整數(shù)n，都有S_n∈[1，3]，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，我們只要根據(jù)b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*，已知b₁=m，b2=

3m

2

，求出a₁，a₂然后根據(jù)公比的定義，即可求出數(shù)列{a_n}的首項和公比．
（2）當(dāng)m=1時，結(jié)合（1）的結(jié)論，我們不難給出數(shù)列{a_n}的通項公式，并由b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*給出b_n的表達式，利用錯位相消法，我們可以對其進行化簡，并求出b_n；
（3）由S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，及（1）的結(jié)論，我們可以給出S_n的表達式，再由S_n∈[1，3]，我們可以構(gòu)造一個關(guān)于m的不等式，解不等式，即可得到實數(shù)m的取值范圍．在解答過程中要注意對n的分類討論．

解答：解：（Ⅰ）由已知b₁=a₁，
所以a₁=m
b₂=2a₁+a₂，
所以2a1+a2=

3

2

m，
解得a2=-

m

2

，
所以數(shù)列{a_n}的公比q=-

1

2

．
（Ⅱ）當(dāng)m=1時，an=(-

1

2

)n-1，
b_n=na₁+（n-1）a₂++2a_n-1+a_n①，
-

1

2

bn=na2+(n-1)a3++2an+an+1②，
②-①得
-

3

2

bn=-n+a2+a3++an+an+1
所以-

3

2

bn=-n+

- 1 2 [1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=-n-

1

3

[1-(-

1

2

)n]，
bn=

2n

3

+

2

9

-

2

9

(-

1

2

)n=

6n+2+(-2)1-n

9

（Ⅲ）Sn=

m[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

2m

3

•[1-(-

1

2

)n]
因為1-(-

1

2

)n＞0，
所以，由S_n∈[1，3]得

1

1-(- 1 2 )n

≤

2m

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，
注意到，當(dāng)n為奇數(shù)時1-(-

1

2

)n∈(1，

3

2

]，
當(dāng)n為偶數(shù)時1-(-

1

2

)n∈[

3

4

，1)，
所以1-(-

1

2

)n最大值為

3

2

，最小值為

3

4

．
對于任意的正整數(shù)n都有

1

1-(- 1 2 )n

≤

2m

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，
所以

4

3

≤

2m

3

≤2，2≤m≤3．
即所求實數(shù)m的取值范圍是{m|2≤m≤3}．

點評：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項的乘積組成，則求此數(shù)列的前n項和Sn，一般用乘以其公比然后再添加不可缺少的式子錯位相減法，要注意對字母的討論．