Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+x+4 x (x＞0) - x2-x+4 x (x＜0)

，
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）分別在區(qū)間（0，2]，[2，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析：（I）分兩段分別證明f（x）=f（-x）即可證明函數(shù)為偶函數(shù)；
（II）設x₂＞x₁＞0，利用作差法討論f（x₂）-f（x₁）的大小，即可證明函數(shù)在區(qū)間（0，2]，[2，+∞）上的單調(diào)性，也可利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性：先求函數(shù)的導函數(shù)f′（x），再在某區(qū)間內(nèi)證明導函數(shù)值的正負，即可證明函數(shù)的單調(diào)性

解答：解：（Ⅰ）由題可知函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱．
當x＞0時，-x＜0，
則f(x)=

x2+x+4

x

，f(-x)=

(-x2)-(-x)+4

(-x)

=

x2+x+4

x

，
∴f（x）=f（-x）．
當x＜0時，-x＞0，
則f(x)=-

x2-x+4

x

，f(-x)=

(-x2)+(-x)+4

(-x)

=-

x2-x+4

x

，
∴f（x）=f（-x）．
綜上所述，對于x≠0，都有f（x）=f（-x），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（Ⅱ）當x＞0時，f(x)=

x2+x+4

x

=x+

4

x

+1，
設x₂＞x₁＞0，則f(x2)-f(x1)=

x2-x1

x1•x2

(x1•x2-4)
當x₂＞x₁≥2時，f（x₂）-f（x₁）＞0；當2≥x₂＞x₁＞0時，f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，2]上是減函數(shù)，函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)．
（另證：當x＞0，f(x)=

x2+x+4

x

=x+

4

x

+1，f′(x)=1-

4

x2

；
∵0＜x≤2⇒0＜x2≤4?

4

x2

≥1?1-

4

x2

≤0
x≥2?x2≥4?0＜

4

x2

≤1?1-

4

x2

≥0
∴函數(shù)f（x）在（0，2]上是減函數(shù)，在[2，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題考查了分段函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷方法，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性的方法，作差法比較大小的變形技巧，導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用