Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=

3

．
（1）證明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（2）若D是棱CC₁的中點，在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB₁C₁？證明你的結(jié)論．
（3）求A₁到平面AB₁C₁的距離．

Answer 1

分析：（1）利用直棱柱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明；
（2）利用三角形的中位線定理、線面和面面平行的判定和性質(zhì)定理即可證明；
（3）利用（1）的結(jié)論和點到平面的距離定義即可得出．

解答：（1）證明：由題意可得四邊形A₁C₁CA是矩形，又AC=

AB2-BC2

=

3

=AA₁，
∴四邊形A₁C₁CA是正方形，∴A₁C⊥AC₁．
∵BC⊥CA，CC₁⊥BC，BC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面A₁C₁CA，∴BC⊥A₁C，
∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁⊥A₁C．
又AC₁∩B₁C₁=C₁，∴A₁C⊥平面AB₁C₁．
（2）在棱AB上存在一點EW為AB的中點，使DE∥平面AB₁C₁．
證明：取AC的中點F，AB的中點E，連接DF、EF、DE．
由三角形中位線定理可得：DF∥AC₁，EF∥BC，即EF∥B₁C₁．
∵DF?平面AB₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁．
∴DF∥平面AB₁C₁．
同理EF∥平面AB₁C₁．
而DF∩EF=F，∴平面EFD∥平面AB₁C₁．
∴DE∥平面AB₁C₁．
（3）解：設AC₁∩A₁C=O，由（1）可知：A₁O⊥平面AB₁C₁，
∴A₁O即為點A₁到平面AB₁C₁．的距離．
而A1O=

1

2

A1C=

6

2

．
∴點A₁到平面AB₁C₁．的距離為

6

2

．

點評：熟練掌握直棱柱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、線面和面面平行的判定和性質(zhì)定理、點到平面的距離定義是解題的關鍵．