若數(shù)列An=a1,a2,…,an(n≥2)滿足|an+1-an|=1(k=1,2,…,n-1),數(shù)列An為E數(shù)列,記S(An)=a1+a2+…+an.
(Ⅰ)寫出一個滿足a1=as=0,且S(As)>0的E數(shù)列An;
(Ⅱ)若a1=12,n=2000,證明:E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an=2011;
(Ⅲ)對任意給定的整數(shù)n(n≥2),是否存在首項為0的E數(shù)列An,使得S(An)=0?如果存在,寫出一個滿足條件的E數(shù)列An;如果不存在,說明理由.
分析:(Ⅰ)根據(jù)題意,a2=±1,a4=±1,再根據(jù)|ak+1-ak|=1給出a5的值,可以得出符合題的E數(shù)列A5;
(Ⅱ)從必要性入手,由單調(diào)性可以去掉絕對值符號,可得是An公差為1的等差數(shù)列,再證充分性,由絕對值的性質(zhì)得出不等式,再利用同向不等式的累加,可得ak+1-ak=1>0,An是遞增數(shù)列;
(Ⅲ)根據(jù)定義構造數(shù)列,再用等差數(shù)列求和公式求出S(An),最后通過討論得出符合條件的S(An).
解答:解:(Ⅰ)0,1,0,1,0是一個滿足條件的E數(shù)列A
5(Ⅱ)必要性:因為E數(shù)列A
n是遞增數(shù)列
所以a
k+1-a
k=1(k=1,2,…,1999)
所以A
n是首項為12,公差為1的等差數(shù)列.
所以a
2000=12+(2000-1)×1=2011
充分性:由于a
2000-a
1999≤1
a
1999-a
1998≤1
…
a
2-a
1≤1,
所以a
2000-a
1≤1999,即a
2000≤a
1+1999
又因為a
1=12,a
2000=2011
所以a
2000=a
1+1999
故a
k+1-a
k=1>0(k=1,2,…,1999),即A
n是遞增數(shù)列.
綜上所述,結(jié)論成立.
(Ⅲ)設c
k=a
k+1-a
k(k=1,2,…,n-1),則c
k=±1
因為a
2=a
1+c
1 a
3=a
1+c
1+c
2…
a
n=a
1+c
1+c
2+…+c
n-1所以S(A
n)=na
1+(n-1)c
1+(n-2)c
2+(n-3)c
3+…+c
n-1=(n-1)+(n-2)+…+1-[(1-c
1)(n-1)+(1-c
2)(n-2)+…+(1-c
n-1)]
=
-[(1-c1)(n-1)+(1-c2)(n-2)+…+(1-cn-1)]因為c
k=±1,所以1-c
k為偶數(shù)(k=1,2,…,n-1))
所以(1-c
1)(n-1)+(1-c
2)(n-2)+…+(1-c
n-1)為偶數(shù)
所以要使S(A
n)=0,必須=
使為偶數(shù)
即4整除n(n-1),亦即n=4m或n=4m+1(m∈N
*)
當n=4m(m∈N
*)時,E數(shù)列A
n的項滿足a
4k+1=a
4k-1=0,a
4k-2=-1,a
4k=1(k=1,2,…,n-1))
此時,有a
1=0且S(A
n)=0成立
當n=4m+1(m∈N
*)時,E數(shù)列A
n的項滿足a
4k+1=a
4k-1=0a
4k-2=-1a
4k=1(k=1,2,…,n-1))
a
4k+1=0時,亦有a
1=0且S(A
n)=0成立
當n=4m+2或n=4m+3(m∈N
*)(m∈N
*)時,n(n-1)不能被4整除,此時不存在數(shù)列數(shù)列A
n,使得a
1=0且S(A
n)=0成立
點評:本題以數(shù)列為載體,考查了不等式的運用技巧,屬于難題,第三小問注意去絕對值,分類討論思想的運用.