Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=0，，n∈N^*．
（1）求證：是等差數(shù)列；并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）假設(shè)對于任意的正整數(shù)m、n，都有|b_n-b_m|＜ω，則稱該數(shù)列為“ω域收斂數(shù)列”．試判斷：數(shù)列，n∈N^*是否為一個(gè)“域收斂數(shù)列”，請說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題中所給出的等式，求數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差，并將這個(gè)差進(jìn)行化簡，最終得出這個(gè)差等于-1，得出數(shù)列是公差為-1的等差數(shù)列，則不難通過數(shù)列求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2），說明數(shù)列{b_n}的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為正數(shù)．通過作差：|b_n+1|-|b_n|，化簡得|b_n+1|-|b_n|=，討論得當(dāng)n=3時(shí)，|b₃|是數(shù)列{|b_n|}的最大項(xiàng)，但是b₃＜0，說明b₃是{b_n}最小的項(xiàng)，而在正數(shù)項(xiàng)中，絕對第二大的項(xiàng)可能是b₂或b₄，通過作差比較可得b₂是數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)．在此基礎(chǔ)之上不難用定義：對于任意的正整數(shù)m、n，都有|b_n-b_m|＜ω，則稱該數(shù)列為“ω域收斂數(shù)列”，證明數(shù)列{b_n}是一個(gè)“域收斂數(shù)列”了．
解答：證：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184836163920671/SYS201310241848361639206021_DA/6.png">，
所以，n∈N^*；
故是等差數(shù)列．
由此可得，，
所以，n∈N^*．
（2）由條件，
可知當(dāng)n=2k，b_n＞0；當(dāng)n=2k-1時(shí)，b_n≤0，k∈N^*．
令，則=．
∴當(dāng)-n²+5＞0⇒n≤2時(shí)，|b_n+1|＞|b_n|；
同理可得，當(dāng)-n²+5＜0⇒n≥3時(shí)，|b_n+1|＜|b_n|；
即數(shù)列{|b_n|}在n=1，2，3時(shí)遞增；n≥4時(shí)，遞減；
即|b₃|是數(shù)列{|b_n|}的最大項(xiàng)．
然而，因?yàn)閧b_n}的奇數(shù)項(xiàng)均為-|b_n|，故為數(shù)列{b_n}的最小項(xiàng)；
而，，
所以b₂＞b₄，故b₂是數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)．
∴對任意的正整數(shù)m、n，，
∴數(shù)列，n∈N^*是一個(gè)“域收斂數(shù)列”．
點(diǎn)評：本題是一道由一個(gè)數(shù)列為基礎(chǔ)，同時(shí)考查了函數(shù)不等式的相關(guān)知識(shí)，屬于難題．著重考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意認(rèn)真審題，仔細(xì)計(jì)算．