Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)x1，x2是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

試題（Ⅰ）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來(lái)確定（主要要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)來(lái)分類(lèi)）；（Ⅱ）借助（Ⅰ）的結(jié)論來(lái)證明，由單調(diào)性可知等價(jià)于，即．設(shè)，則．則當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，．從而，故．

試題解析：（Ⅰ）．

（Ⅰ）設(shè)，則，只有一個(gè)零點(diǎn)．

（Ⅱ）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

又，，取滿足且，則

，

故存在兩個(gè)零點(diǎn)．

（Ⅲ）設(shè)，由得或．

若，則，故當(dāng)時(shí)，，因此在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．

若，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．

綜上，的取值范圍為．

（Ⅱ）不妨設(shè)，由（Ⅰ）知，，在單調(diào)遞減，所以等價(jià)于，即．

由于，而，所以

．

設(shè)，則．

所以當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，．

從而，故．