數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn=2an-3n(nÏN+)．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an；

（2）數(shù)列中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

答案：
解析：

（1）當(dāng)nÎN+時(shí)有：Sn=2an-3n，

∴ Sn+1=2an+1-3(n+1)，兩式相減得：an+1=2an+1-2an-3

∴ an+1=2an+3

∴ an+1+3=2(an+3)又a1=s1=2a1-3，

∴ a1=3，a1+3=6¹0

∴ 數(shù)列的首項(xiàng)6，公比為2的等比數(shù)列．從而an+3=6×2n-1，

∴ an=3×2n-3

另解：歸納猜想再用數(shù)學(xué)歸納法證．

（2）假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)ar，as，at(r<s<t)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列，

∴ ar<as<at，∴ 只能是ar+at=2as，

∴ （3×2r-3）+（3×2t-3）=2（3×2s-3），即2r+2t=2s+1

∴ 1+2t-r=2s+1-r．（*）

∵ r<s<t，r，s，t均為正整數(shù)，

∴ （*）式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，不可能成立．

因此數(shù)列中不存在可以構(gòu)成等差數(shù)列的三項(xiàng)．

 


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設(shè)函數(shù)f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，f(0)=
1
2
，數(shù)列{an}滿f(1)=n2an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn等于
n
n+1
n
n+1
．

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（本小題滿分為12分）

數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Sn ,且滿足。

（Ⅰ）計(jì)算；

（Ⅱ）猜想通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。

 

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設(shè)函數(shù)f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，f(0)=
1
2
，數(shù)列{an}滿f(1)=n2an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn等于______．

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