Question

已知曲線：.
（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線的斜率為1的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)斜率為的兩條直線與曲線相切于兩點(diǎn)，求證：中點(diǎn)在曲線上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，又已知直線的方程為：，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時,先求導(dǎo)，通過斜率為1得到切點(diǎn).然后利用點(diǎn)斜式得到所求切線方程；（Ⅱ）先將兩點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出，其中縱坐標(biāo)用相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示.再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到兩點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足.從而得到中點(diǎn)，又中點(diǎn)在曲線上 ，顯然成立．得證；（Ⅲ）由中點(diǎn)在直線，又在曲線，從而得，再反代如直線與曲線聯(lián)立得方程，得到兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入導(dǎo)函數(shù)中得到斜率，從而得到.
試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時，，
設(shè)切點(diǎn)為，由，切點(diǎn)為
故為所求．                (4分)
（Ⅱ），設(shè)，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有


中點(diǎn)，即，
又中點(diǎn)在曲線上 ，顯然成立．得證．     (8分)
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且在上，，
又在曲線上，，
所以．
由，
 
由于，
故．
綜上，為所求．                                  (13分)