Question

（文）對于函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a-1），給出下列命題：
①當(dāng)a=0時，f（x）的值域為R；        ②當(dāng)a＞0時，f（x）在[2，+∞）上有反函數(shù)；
③當(dāng)0＜a＜1時，f（x）有最小值；     ④若f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是[-4，+∞）．
上述命題中正確的是

①②

．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：由題意，①中判斷函數(shù)值域能否為R，要驗證真數(shù)能否取全體正數(shù)；
②中研究此對數(shù)函數(shù)是否有反函數(shù)，由反函數(shù)定義知，驗證a＞0時，f（x）在[2，+∞）上函數(shù)是否是單調(diào)函數(shù)即可；
③中研究在0＜a＜1時，f（x）有最小值的問題，可通過驗證真數(shù)的最小值是否為正數(shù)判斷，若在R上，內(nèi)層函數(shù)的最小值為正數(shù)，則說明函數(shù)有最小值，否則沒有；
④中研究f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，實數(shù)a的取值范圍，可將函數(shù)在[2，+∞）上是增函數(shù)的等價條件給出，解出此時a的取值范圍，與命題對照；

解答：解：函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a-1），
①當(dāng)a=0時，f（x）=lg（x²-1），由于真數(shù)x²-1可以取全體正數(shù)，故函數(shù)的值域是R，此命題正確；
②當(dāng)a＞0時，內(nèi)層函數(shù)的對稱軸是x=-

a

2

＜0，又當(dāng)x=2時2²+a×2-a-1=a+3＞0，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，此時函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，故有反函數(shù)，此命題正確；
③當(dāng)0＜a＜1時，內(nèi)層函數(shù)的最小值為

-(a+2 2)

4

＜0，故函數(shù)的值域為R，所以函數(shù)f（x）沒有最小值，③命題錯誤；
④若f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則有

4+2a-a-1＞0 - a 2 ≤2

，解得a＞-3則實數(shù)a的取值范圍是（-3，+∞）．故④命題錯誤．
綜上，①②兩個命題是正確的
故答案為①②

點評：本題是一個對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合應(yīng)用題，考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，最值等問題，解題的關(guān)鍵是對命題中所給的結(jié)論作出分析選擇合適的判斷方法，四個命題中涉及到對數(shù)函數(shù)值域為R真數(shù)取值范圍，有反函數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)是否存在最值及函數(shù)是增函數(shù)時參數(shù)的取值范圍，本題是一個能力型題，考查了推理判斷的能力