【題目】如圖,在半徑為2,圓心角為 的扇形金屬材料中剪出一個四邊形MNQP,其中M、N兩點分別在半徑OA、OB上,P、Q兩點在弧 上,且OM=ON,MN∥PQ.
(1)若M、N分別是OA、OB中點,求四邊形MNQP面積的最大值.
(2)PQ=2,求四邊形MNQP面積的最大值.

【答案】
(1)解:連接OP,OQ,則四邊形MNQP為梯形.

設(shè)∠AOP=∠BOQ=θ∈(0, ),則∠POQ= ﹣2θ,且此時OM=ON=1,

四邊形MNQP面積S= sinθ+ sinθ+ ×2sin( ﹣2θ)﹣ =﹣4sin2θ+2sinθ+ ,

∴sinθ= ,S取最大值


(2)解:設(shè)OM=ON=x∈(0,2),

由PQ=2可知∠POQ= ,∠AOQ=∠BOP= ,

∴sin = ,

∴四邊形MNQP面積S= x+ x+ x2=﹣ x2+ x+

∴x= ,S取最大值為


【解析】(1)設(shè)∠AOP=∠BOQ=θ∈(0, ),則∠POQ= ﹣2θ,且此時OM=ON=1,利用分割法,即可求四邊形MNQP面積的最大值.(2)PQ=2,可知∠POQ= ,∠AOQ=∠BOP= ,利用分割法,即可求四邊形MNQP面積的最大值.
【考點精析】本題主要考查了三角函數(shù)的最值的相關(guān)知識點,需要掌握函數(shù),當(dāng)時,取得最小值為;當(dāng)時,取得最大值為,則,,才能正確解答此題.

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