Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）若為棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積來(lái)證明，；（2）向量法：先求平面的法向量，然后利用公式求直線與平面所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式來(lái)求二面角的余弦值．

依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，，由點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，得．

（1）向量，，故． ∴．

（2）向量，設(shè)為平面的法向量，則，即，

不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量．

于是有，

∴直線與平面所成角的正弦值為．

（3），

由點(diǎn)在棱上，故，

由，得，解得，即．

設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量．取平面的法向量，則．

易知，二面角是銳角，∴其余弦值為．