Question

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線x=

a2

c

（a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；
（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

分析：（1）把M的橫坐標(biāo)代入準(zhǔn)線方程得到一個(gè)關(guān)系式，然后由短半軸b和c表示出a，代入關(guān)系式得到關(guān)于c的方程，求出方程的解得到c的值，進(jìn)而得到a的值，由a和b的值寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）設(shè)出以O(shè)M為直徑的圓的方程，變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程后找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，由以O(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)，過(guò)圓心作弦的垂線，根據(jù)垂徑定理得到垂足為中點(diǎn)，由弦的一半，半徑以及圓心到直線的距離即弦心距構(gòu)成直角三角形，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到3x-4y-5=0的距離d，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可確定出所求圓的方程；
（3）設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，表示出

FN

，

OM

，

MN

及

ON

，由

FN

⊥

OM

，得到兩向量的數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則表示出一個(gè)關(guān)系式，又

MN

⊥

ON

，同理根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則得到另一個(gè)關(guān)系式，把前面得到的關(guān)系式代入即可求出線段ON的長(zhǎng)，從而得到線段ON的長(zhǎng)為定值．

解答：解：（1）又由點(diǎn)M在準(zhǔn)線上，得

a2

c

=2
故

1+c2

c

=2，∴c=1，從而a=

2

所以橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
（2）以O(shè)M為直徑的圓的方程為x（x-2）+y（y-t）=0
即(x-1)2+(y-

t

2

)2=

t2

4

+1
其圓心為(1，

t

2

)，半徑r=

t2 4 +1

因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2
所以圓心到直線3x-4y-5=0的距離d=

r2-1

=

t

2

所以

|3-2t-5|

5

=

t

2

，解得t=4
所求圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=5
（3）設(shè)N（x₀，y₀），則

FN =(x0-1，y0)， OM =(2，t)

，

MN =(x0-2，y0-t)， ON =(x0，y0)

，
∵

FN

⊥

OM

，∴2（x₀-1）+ty₀=0，∴2x₀+ty₀=2，
又∵

MN

⊥

ON

，∴x₀（x₀-2）+y₀（y₀-t）=0，
∴x₀²+y₀²=2x₀+ty₀=2，
所以|

ON

|=

x02+y02

=

2

為定值．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，垂徑定理及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則．要求學(xué)生掌握平面向量垂直時(shí)滿足的條件是兩向量的數(shù)量積為0，以及橢圓中長(zhǎng)半軸的平方等于短半軸與半焦距的平方和．