Question

已知二次函數(shù)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為a，且不等式f（x）＞2x的解集為（-1，3）．
（1）若函數(shù)g（x）=x，f（x）在區(qū)間（-∞，）內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，證明方程f（x）=2x³-1僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
（3）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，試討論|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）依據(jù)不等式f（x）＞2x的解集為（-1，3），可設(shè)函數(shù)f（x）-2x的解析式為（x）-2x=a（x+1）（x-3），得出f（x）的解析式．根據(jù)若函數(shù)g（x）區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減，通過導(dǎo)函數(shù)g′（x）＜0，求a的取值范圍．
（2）若方程f（x）=2x³-1僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，我們可以構(gòu)造函數(shù)h（x）=2x³+x²-4x-4，則函數(shù)h（x）=2x³+x²-4x-4無極值點(diǎn)，或兩個(gè)極值點(diǎn)的函數(shù)值同號(hào)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析后，即可得到結(jié)論；
（3）構(gòu)造函數(shù)r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分析后構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，即可求出|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要條件．
解答：解：（1）∵f（x）-2x＞0的解集為（-1，3），
∴可設(shè)f（x）-2x=a（x+1）（x-3），且a＜0，
因而f（x）=a（x+1）（x-3）+2x=ax²+2（1-a）x-3a①
g（x）=xf（x）=ax³+2（1-a）x²-3ax，
∵g（x）在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減，
∴g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a在 上的函數(shù)值非正，
由于a＜0，對(duì)稱軸 ，
故
注意到a＜0，∴a²+4（1-a）-9≥0，
得a≤-1或a≥5（舍去）
故所求a的取值范圍是（-∞，-1]．
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，方程f（x）=2x³-1僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即證方程2x³+x²-4x-4有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
令h（x）=2x³+x²-4x-4，
由h′（x）=6x²+2x-4=0，得x=-1，或x=
由此易得函數(shù)h（x）=2x³+x²-4x-4在區(qū)間（-∞，-1），（，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，）上遞減
h（x）的極大值h（-1）=-1＜0
故函數(shù)h（x）的圖象與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，
∴當(dāng)a=-1時(shí)，方程f（x）=2x³-1僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根
（3）設(shè)r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1=ax²+x+1，
r（0）=1，對(duì)稱軸為x=
由題意，得或
解得-5≤a＜0
故使|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要條件為-5≤a＜0
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，及二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．步驟一般是首先確定所求問題含待定系數(shù)的解析式．其次根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程．最后解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決．其中熟練掌握二次函數(shù)、二次不等式、二次方程之間的聯(lián)系，熟練的進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵．