Question

已知直線的參數(shù)方程為

x=-1+2t y=3-4t

（t為參數(shù)），直線與曲線（y-3）²-x²=1交于A、B兩點(diǎn)．
（I）求線段AB的長(zhǎng)；
（II）求點(diǎn)P（-1，3）到線段AB中點(diǎn)Q的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把直線的參數(shù)方程的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)代入曲線方程并化簡(jiǎn)得6t²+2t-1=0，設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，則t1+t2=-

1

3

，t1t2=-

1

6

，從而可求線段AB的長(zhǎng)；
（Ⅱ）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)可得Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

t1+t2

2

=-

1

6

，從而可求點(diǎn)P（-1，3）到線段AB中點(diǎn)Q的距離．

解答：解：（Ⅰ）把直線的參數(shù)方程的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)代入曲線方程并化簡(jiǎn)得6t²+2t-1=0…（2分）
設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，
則t1+t2=-

1

3

，t1t2=-

1

6

…（4分）
∴線段AB的長(zhǎng)為|AB|=

22+(-4)2

|t1-t2|=2

5

(t1+t2)2-4t1t2

=

2 35

3

…（6分）
（Ⅱ）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)可得Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

t1+t2

2

=-

1

6

，…（8分）
∴點(diǎn)P（-1，3）到線段AB中點(diǎn)Q的距離為|PQ|=

22+(-4)2

|-

1

6

|=

5

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以直線的參數(shù)方程為載體，考查直線的參數(shù)方程，考查參數(shù)的意義，解題的關(guān)鍵是正確理解參數(shù)方程中參數(shù)的意義