如圖,正八面體的棱長為a,求:

(1)PQ的長;

(2)二面角PBCQ的余弦值;

(3)兩個相對面之間的距離.

思路分析:(1)將求PQ的長,轉(zhuǎn)化為求正四棱錐P—ABCD的高;(2)注意正八面體面的特征,取棱BC的中點,則立即得到二面角PBCQ的平面角;(3)將面面距離轉(zhuǎn)化為點面距離,用等體積法求之.

解:(1)連結(jié)PQ,交ABCD于O,則O為其中心,取BC的中點E,連結(jié)PE.

在Rt△POE中,

    ∵OE=AB=a,PE=a,∴PO===a.

    于是PQ=2PO=a.

    (2)連結(jié)QE.因PE⊥BC,QE⊥BC,所以∠PEQ就是二面角P-BC-Q的平面角.

    在△PEQ中,由余弦定理得

    cos∠PEQ=

    ===-,

    即二面角PBCQ的余弦值為-.

    (3)顯然,平面PBC∥平面QAD,因此它們之間的距離就是點A到平面PBC的距離,設(shè)其為h,則VA—PCB=VP—ABC,即·SPBC·h=·SABC·PO.

    ∴ a2·h=a2· a2.∴h=a,

    即兩個相對面之間的距離為a.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044

如圖,已知一個正四面體和一個正八面體的棱長相等,如果它們的面是全等的三角形,把它們拼起來,使一個表面重合,所得的多面體有多少個面?

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:數(shù)學(xué)教研室 題型:044

如圖,已知一個正四面體和一個正八面體的棱長相等,如果它們的面是全等的三角形,把它們拼起來,使一個表面重合,所得的多面體有多少個面?

 

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