Question

如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，四邊形是邊長為的正方形．

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連結(jié)，與交于點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823185629521209.gif" style="vertical-align:middle;" />，分別為和的中點(diǎn)，所以∥．又平面，平面，
所以∥平面．             ……………………4分
（Ⅱ）證明：在直三棱柱中，平面，又平面，所以．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823185629880312.gif" style="vertical-align:middle;" />，為中點(diǎn)，所以．又，
所以平面．又平面，所以．
因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823185629349339.gif" style="vertical-align:middle;" />為正方形，，分別為，的中點(diǎn)，
所以△≌△，． 所以．
所以．
又，所以平面．               ……………………8分

（Ⅲ）解：如圖，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．
則．
由（Ⅱ）知平面，所以為平面的一個(gè)法向量．
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
，．
由可得
令，則．
所以．
從而．
因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823185629474346.gif" style="vertical-align:middle;" />為銳角，
所以二面角的余弦值為．………12分

略