Question

設(shè)，，其中a為非零實(shí)常數(shù)．
（1）若，，求x；
（2）試討論函數(shù)g（x）在R上的奇偶性與單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行整理，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可得到結(jié)論．
（2）先求出函數(shù)g（x）的解析式，再通過(guò)討論a得到其奇偶性，并通過(guò)舉例得到其單調(diào)性即可．
解答：解：（1）由已知=，（2分）
由得：，（1分）
∵，（1分）
∴，．         （2分）
（2）由已知，得，（2分）
①∵當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的x∈R，總有g(shù)（-x）=-x-sin（-2x）=-（x-sin2x）=-g（x），
∴g（x）是奇函數(shù)．（2分）（沒(méi)有過(guò)程扣1分）
②當(dāng)時(shí)，∵或g（π）≠±g（-π）等
所以，g（x）既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)．（2分）（沒(méi)有過(guò)程扣1分）
∵，故g（x）不是單調(diào)遞增函數(shù)，（1分）
又∵，故g（x）不是單調(diào)遞減函數(shù)．（1分）
∴g（x）既不是單調(diào)遞減函數(shù)，也不是單調(diào)遞增函數(shù)．             （沒(méi)舉反例扣1分）
注：用求導(dǎo)的方法做對(duì)給滿分
令g′（x）=1-2cos2x=0⇒，
易得：g（x）在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性．解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于對(duì)公式的熟練理解以及靈活運(yùn)用．