【題目】一個多面體的三視圖正視圖、側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，M，N分別是，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）若這個多面體的六個頂點(diǎn)A，B，C，，，都在同一個球面上，求這個球的體積．

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)三視圖的性質(zhì)，可得該幾何體是直三棱柱，且，，連接，，矩形中對角線的中點(diǎn)N就是的中點(diǎn)．結(jié)合M是的中點(diǎn)證出，由線面平行的判定定理，證出平面．

（2）由平面，得到正方形中可得，結(jié)合線面垂直判定定理，證出平面，再由，可得平面；

（3）根據(jù)三棱柱是直三棱柱，在矩形中算出可得，從而得到，同理得，所以點(diǎn)N是多面體的外接球心，得到半徑由球的體積公式，即可算出該外接球的體積．

解：由題意可知，這個幾何體是直三棱柱，且，，

（1）連接，，由直三棱柱的性質(zhì)，得平面，

，可得四邊形為矩形．

由矩形的性質(zhì)，得過的中點(diǎn)N．

在中，由中位線性質(zhì)得，

又平面平面，平面

（2）平面，平面，

在正方形中，可得

又，平面

又，平面

（3）多面體為直三棱柱，

矩形中，

可得，

是直角三角形斜邊的中線，

同理可得

是這個多面體的外接球的球心，半徑，

外接球的體積

練習(xí)冊系列答案
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【題目】四面體ABCD的每個頂點(diǎn)都在球O的表面上,AB是球O的一條直徑,且AC=2,BC=4,現(xiàn)有下面四個結(jié)論:

①球O的表面積為20π;②AC上存在一點(diǎn)M,使得AD∥BM;

③若AD=3,則BD=4;④四面體ABCD體積的最大值為.

其中所有正確結(jié)論的編號是( )

A.①②B.②④C.①④D.①③④

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【題目】已知，滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最小值為-5，則的最大值為（ ）

A. 2B. 3

C. 4D. 5

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【題目】商品的銷售價(jià)格與銷售量密切相關(guān)，為更精準(zhǔn)地為商品確定最終售價(jià)，商家對商品A按以下單價(jià)進(jìn)行試售，得到部分的數(shù)據(jù)如下：

單價(jià)（元）

銷量（件）

（1）求銷量關(guān)于的線性回歸方程；

（2）預(yù)計(jì)今后的銷售中，銷量與單價(jià)服從（1）中的線性回歸方程，已知每件商品的成本是元，為了獲得最大利潤，商品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（結(jié)果保留整數(shù)）

參考數(shù)據(jù)：，，）（參考公式：，）

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【題目】2016年某市政府出臺了“2020年創(chuàng)建全國文明城市（簡稱創(chuàng)文）”的具體規(guī)劃，今日，作為“創(chuàng)文”項(xiàng)目之一的“市區(qū)公交站點(diǎn)的重新布局及建設(shè)”基本完成，市有關(guān)部門準(zhǔn)備對項(xiàng)目進(jìn)行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果決定是否驗(yàn)收，調(diào)查人員分別在市區(qū)的各公交站點(diǎn)隨機(jī)抽取若干市民對該項(xiàng)目進(jìn)行評分，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，相關(guān)規(guī)則為：①調(diào)查對象為本市市民，被調(diào)查者各自獨(dú)立評分；②采用百分制評分， 內(nèi)認(rèn)定為滿意，80分及以上認(rèn)定為非常滿意；③市民對公交站點(diǎn)布局的滿意率不低于60%即可進(jìn)行驗(yàn)收；④用樣本的頻率代替概率.

（1）求被調(diào)查者滿意或非常滿意該項(xiàng)目的頻率；

（2）若從該市的全體市民中隨機(jī)抽取3人，試估計(jì)恰有2人非常滿意該項(xiàng)目的概率；

（3）已知在評分低于60分的被調(diào)查者中，老年人占，現(xiàn)從評分低于60分的被調(diào)查者中按年齡分層抽取9人以便了解不滿意的原因，并從中選取2人擔(dān)任群眾督察員，記為群眾督查員中老年人的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

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【題目】某中學(xué)2018年的高考考生人數(shù)是2015年高考考生人數(shù)的倍，為了更好地對比該�？忌纳龑W(xué)情況，統(tǒng)計(jì)了該校2015年和2018年的高考情況，得到如圖柱狀圖：

則下列結(jié)論正確的是　　

A. 與2015年相比，2018年一本達(dá)線人數(shù)減少

B. 與2015年相比，2018年二本達(dá)線人數(shù)增加了倍

C. 2015年與2018年藝體達(dá)線人數(shù)相同

D. 與2015年相比，2018年不上線的人數(shù)有所增加

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【題目】祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的偉大科學(xué)家，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理：“冪勢既同，則積不容異”，稱為祖暅原理．意思是底面處于同一平面上的兩個同高的幾何體，若在等高處的截面面積始終相等，則它們的體積相等．利用這個原理求半球O的體積時，需要構(gòu)造一個幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_____，表面積為_____．

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A.①為真命題，②為真命題B.①為真命題，②為假命題

C.①為假命題，②為真命題D.①為假命題，②為假命題

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【題目】中國古代數(shù)學(xué)成就甚大，在世界科技史上占有重要的地位.“算經(jīng)十書”是漢、唐千余年間陸續(xù)出現(xiàn)的10部數(shù)學(xué)著作，包括《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、……、《綴術(shù)》等，它們曾經(jīng)是隋唐時期國子監(jiān)算學(xué)科的教科書.某中學(xué)圖書館全部收藏了這10部著作，其中4部是古漢語本，6部是現(xiàn)代譯本，若某學(xué)生要從中選擇2部作為課外讀物，至少有一部是現(xiàn)代譯本的概率是（ ）

A.B.C.D.

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