Question

如圖已知：平面α與平面β所成角為60°，直角三角形斜邊AB在棱l上，直角邊BC，CA在平面β內(nèi)，它們與平面α所成角分別為θ₁，θ₂．
求：sin²θ₁+sin²θ₂的值．

Answer 1

分析：過點C作平面α的垂線，垂足為O，則∠CBO=θ₁，∠CAO=θ₂，過O作l的垂線，垂足為G，則∠CGO=60°為二面角α-l-β的平面角，再分別表示出θ₁，θ₂與∠CGO的正弦值，并且結(jié)合直角三角形的性質(zhì)得到答案．

解答：解：過點C作平面α的垂線，垂足為O，則∠CBO=θ₁，∠CAO=θ₂，
過O作l的垂線，垂足為G，則∠CGO=60°為二面角α-l-β的平面角，
所以sinθ₁=

OC

BC

，sinθ₂=

OC

AC

，sin60°=

OC

GC

，
所以sin²θ₁+sin²θ₂=

OC2•(AC2+BC2)

AC2•BC2

=

OC2•AB2

AC2•BC2

=

OC2•AB2

GC2•AB2

=

OC2

GC2

=sin²60°=

3

4

．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握線面角與二面角平面角的定義與作法，以及直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，此題綜合性較強(qiáng)屬于中檔題．