Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E為PA的中點(diǎn)．

（1）證明：DE∥平面PBC；
（2）證明：DE⊥平面PAB．

Answer 1

（1）參考解析；（2）參考解析.

試題分析：（1）直線(xiàn)與平面的平行有兩種方法證明第一是在平面內(nèi)找一條直線(xiàn)與該平面平行，就如本題的證明.E點(diǎn)是中點(diǎn)所以找到PB的中點(diǎn)即可.另外也可以通過(guò)平面與平面平行來(lái)證明.（2）直線(xiàn)與平面的垂直是要證明該直線(xiàn)與平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)垂直.DE垂直于PA較好證.另外一條又要通過(guò)直線(xiàn)AB垂直平面PAD來(lái)證明即可.這類(lèi)題型主要思路是線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系，線(xiàn)面關(guān)系，面面關(guān)系之間相互轉(zhuǎn)化.
試題解析：（1）設(shè)PB的中點(diǎn)為F，連結(jié)EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，且EF＝DC＝．
故四邊形CDEF為平行四邊形，可得ED∥CF．
又ED平面PBC，CF平面PBC，
故DE∥平面PBC．
（2）因?yàn)镻D⊥底面ABCD，AB平面ABCD，所以AB⊥PD．
又因?yàn)锳B⊥AD，PDAD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，所以AB⊥平面PAD．
ED平面PAD，故ED⊥AB．又PD＝AD，E為PA的中點(diǎn)，故ED⊥PA；
PAAB＝A，PA平面PAB，AB平面PAB，所以ED⊥平面PAB．