Question

（文）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=

1

2

a_n-1+1（n≥2），
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求證：數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列，并求通項a_n．

Answer 1

分析：（1）在a_n=

1

2

a_n-1+1中，令n=1求出a₂，令n=2求出a₃，令n=3求出a₄．
（2）由a_n=

1

2

a_n-1+1（n≥2），兩邊減去2，得出a_n-2=

1

2

（a_n-1-2），易知數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列，通過數(shù)列{a_n-2}的通項求出a_n．

解答：解：（1）a₁=1，a_n=

1

2

a_n-1+1，
所以a₂=

1

2

a₁+1=

3

2

，
a₃=

1

2

a₂+1=

7

4

a₄=

1

2

a₃+1=

15

8

（2）由a_n=

1

2

a_n-1+1（n≥2），兩邊減去2，得出a_n-2=

1

2

（a_n-1-2），
數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列，且公比

1

2

，首項為a₁-2=-1，所以數(shù)列{a_n-2}的通項公式為
a_n-2=（-1）•(

1

2

)n-1，所以a_n=（-1）•(

1

2

)n-1+2

點評：本題考查數(shù)列遞推公式和通項公式，考查轉(zhuǎn)化計算、推理論證能力．