Question

【題目】某貧困地區(qū)幾個(gè)丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，，以及鐵路線上的一條應(yīng)開(kāi)鑿的直線穿山隧道，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路，和山區(qū)邊界的直線型公路，以，所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，山區(qū)邊界曲線為：，設(shè)公路與曲線相切于點(diǎn).

（1）設(shè)公路交軸，軸分別為，兩點(diǎn)，若公路的斜率為-1，求的長(zhǎng)；

（2）在（1）條件下，測(cè)得四邊形中，，，千米，千米，求應(yīng)開(kāi)鑿的隧道的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】（1）（千米）；（2）（千米）

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求得導(dǎo)數(shù)后由直線的斜率為，代入可求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入即可求得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出直線的方程，即可求得的長(zhǎng)；

（2）在中結(jié)合條件并由余弦定理可求得，同時(shí)由正弦定理可求得，進(jìn)而由可求得，在中由勾股定理可得的長(zhǎng).

（1）不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，曲線為：，

則，

故，解得，

故，

所以直線方程為，

所以（千米）.

（2）在中，，，，

所以由余弦定理可得，

代入可得，

根據(jù)正弦定理，

∴，

∴，即，

又，

所以.

在中，，，

由勾股定理可得，

即，

解得（千米）.