已知A,B,C是平面內(nèi)互異的三點(diǎn),O為平面上任意一點(diǎn),
OC
=x
OA
+y
OB
,求證:
(1)若A,B,C三點(diǎn)共線,則x+y=1;
(2)若x+y=1,則A,B,C三點(diǎn)共線.
分析:(1)將三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為以這三點(diǎn)確定的兩個(gè)向量共線;利用向量共線的充要條件得到等式;利用向量的運(yùn)算法則將用O為起點(diǎn)的向量表示;利用平面向量的基本定理得證.
(2)通過代入消元將已知等式中的y消去,利用向量的運(yùn)算法則化簡等式;利用向量共線的充要條件得證.
解答:證明:(1)∵A,B,C三點(diǎn)共線
AB
AC

存在λ有
AC
A
B

OC
-
OA
=λ(
OB
-
OA
)

OC
=(1-λ)
OA
OB

OC
=x
OA
+y
OB

x=1-λ
y=λ

∴x+y=1
(2)∵
OC
=x
OA
+y
OB
,x+y=1

OC
=x
OA
+(1-x)
OB
,
OC
-
OB
=x(
OA
-
OB
)

BC
=x
BA

BA
BC

故A,B,C 共線.
點(diǎn)評:本題考查向量的運(yùn)算法則、向量共線的充要條件、利用向量共線解決三點(diǎn)共線.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A、B、C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn),P為平面內(nèi)的動點(diǎn),且
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)  (λ>0)
,則P的軌跡過△ABC的( 。
A、重心B、垂心C、內(nèi)心D、外心

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn),O是三角形ABC的重心,動點(diǎn)P滿足
OP
=
1
3
(
1
2
OA
+
1
2
OB
+2
OC
)
,則點(diǎn)P一定為三角形ABC的( 。
A、AB邊中線的中點(diǎn)
B、AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)
C、重心
D、AB邊的中點(diǎn)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A,B,C是平面上不共線上三點(diǎn),O為△ABC外心,動點(diǎn)P滿足:
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
]
(λ∈R且λ≠0),則P的軌跡一定通過△ABC的( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn),o為平面ABC內(nèi)任一點(diǎn),動點(diǎn)P滿足等式
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
](λ∈R
且λ≠1,則P的軌跡一定通過△ABC的( 。

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