Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+c

ax+b

為奇函數(shù)，f（1）＜f（3），且不等式0≤f(x)≤

3

2

的解集是[-2，-1]∪[2，4]
（1）求a，b，c．
（2）是否存在實數(shù)m使不等式f(-2+sinθ)≤m2+

3

2

對一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f(x)=

x2+c

ax+b

為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），構(gòu)造方程可得b值，由不等式0≤f(x)≤

3

2

的解集是[-2，-1]∪[2，4]，根據(jù)±2均為不等式的解，可得c值，根據(jù)f（1）＜f（3），結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，及不等式解集的端點是對應(yīng)方程的根，求出a值．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，可得f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題后，構(gòu)造關(guān)于m的不等式，可得答案．

解答：解：（1）∵f(x)=

x2+c

ax+b

為奇函數(shù)，
∴

(-x)2+c

a(-x)+b

=-

x2+c

ax+b

，解得b=0．…（1分）
不等式0≤f(x)≤

3

2

的解集中包含2和-2，
∴f（2）≥0，f（-2）=-f（2）≥0，
即得f(2)=0=

22+c

2a

，所以c=-4…（2分）
∵f(1)＜f(3)， f(1)=-

3

a

，f(3)=-

5

3a

，
∴-

3

a

＜

5

3a

， 所以a＞0．…（3分）
當(dāng)a＞0時，在（0，+∞）上f(x)=

x2-4

ax

是增函數(shù)
在（0，+∞）內(nèi)任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，那么f(x1)-f(x2)=

x1

a

-

4

ax1

-

x2

a

+

4

ax2

=

1

a

(x1-x2)(1+

4

x1x2

)＜0
即f(x1)＜f(x2)， ∴當(dāng)a＞0時，在(0，+∞)上f(x)=

x2-4

ax

是增函數(shù)…（5分）f(2)=0， f(4)=

3

2

=

42-4

4a

，解得a=2．
綜上所述：a=2， b=0， c=-4， f(x)=

x2-4

2x

…（6分）
（2）∵f(x)=

x2-4

2x

為奇函數(shù)，
∴f(x)=

x2-4

2x

在（-∞，0）上也是增函數(shù)．…（7分）
又-3≤-2+sinθ≤-1，
∴f(-3)≤f(-2+sinθ)≤f(-1)=

3

2

，
而m2+

3

2

≥

3

2

，
所以，m為任意實數(shù)時，不等式f(-2+sinθ)≤m2+

3

2

對一切θ∈R成立…（12分）

點評：本題是函數(shù)奇偶性，單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題及不等式方程函數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中根據(jù)已知求出函數(shù)的解析式難度比較大，也是解答本題的關(guān)鍵．