【題目】已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)+ x2﹣x,其中a為實(shí)數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1 , x2 , 且x1<x2 , 求證:2f(x2)﹣x1>0.

【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞), =

①當(dāng)a﹣1≥0時,即a≥1時,f'(x)≥0,f(x)在(﹣1,+∞)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)0<a<1時,由f'(x)=0得 ,

故f(x)在(﹣1,﹣ )上單調(diào)遞增,在(﹣ , )上單調(diào)遞減,

在( ,+∞)上單調(diào)遞增;

③當(dāng)a<0時,由f'(x)=0得x1= ,x2=﹣ (舍)

f(x)在(﹣1, )上單調(diào)遞減,在( ,+∞)上單調(diào)遞增.

(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)得若函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,則0<a<1, ,

∴x1+x2=0,x1x2=a﹣1且x2∈(0,1),

要證2f(x2)﹣x1>0f(x2)+ x2>0aln(x2+1)+ x2>0(1+x2)ln(x2+1)﹣ x2>0,

令g(x)=(1+x)ln(x+1)﹣ x,x∈(0,1),

∵g′(x)=ln(x+1)+ >0,

∴g(x)在(0,1)遞增,

∴g(x)>g(0)=0,

∴命題得證.


【解析】(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù),分類討論,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)所證問題轉(zhuǎn)化為(1+x2)ln(x2+1)﹣ x2>0,令g(x)=(1+x)ln(x+1)﹣ x,x∈(0,1),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.

練習(xí)冊系列答案
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x

3

4

5

6

y

2.5

t

4

4.5


A.產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗與產(chǎn)量呈正相關(guān)
B.t的取值必定是3.15
C.回歸直線一定過點(diǎn)(4,5,3,5)
D.A產(chǎn)品每多生產(chǎn)1噸,則相應(yīng)的生產(chǎn)能耗約增加0.7噸

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(1)為降低能源損耗,節(jié)約用電,學(xué)校規(guī)定:每間宿舍每月用電量不超過200度時,按每度0.5元收取費(fèi)用;超過200度,超過部分按每度1元收取費(fèi)用.以t表示某宿舍的用電量(單位:度),以y表示該宿舍的用電費(fèi)用(單位:元),求y與t的函數(shù)關(guān)系式?

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合計(jì)

認(rèn)可

不認(rèn)可

合計(jì)

(Ⅰ)若得分不低于80分,則認(rèn)為該用戶對此種交通方式“認(rèn)可”,否則認(rèn)為該用戶對此種交通方式“不認(rèn)可”,請根據(jù)此樣本完成此 列聯(lián)表,并據(jù)此樣本分析是否有 的把握認(rèn)為城市擁堵與認(rèn)可共享單車有關(guān);
(Ⅱ)若從此樣本中的 城市和 城市各抽取1人,則在此2人中恰有一人認(rèn)可的條件下,此人來自 城市的概率是多少?
附:參考數(shù)據(jù):(參考公式:

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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