Question

22.如圖，直線(xiàn)l₁:y=kx+1－k（k≠0,k≠±）與l₂:y=x+相交于點(diǎn)P,直線(xiàn)l₁與x軸交于點(diǎn)P₁,過(guò)點(diǎn)P₁作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)l₂于點(diǎn)Q₁，過(guò)點(diǎn)Q₁作y軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)l₁于點(diǎn)P₂,過(guò)點(diǎn)P₂作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)l₂于點(diǎn)Q₂……這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)P₁,Q₁,P₂,Q₂,….點(diǎn)P_n（n=1,2,…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列｛x_n｝.

（Ⅰ）證明:x_n+1－1=（x_n－1）,n∈N*;

（Ⅱ）求數(shù)列｛x_n｝的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）比較2|PP_n|²與4k²|PP₁|²+5的大小.

Answer 1

22.

（Ⅰ）證明:設(shè)點(diǎn)P_n的坐標(biāo)是（x_n,y_n）,由已知條件得點(diǎn)Q_n、P_n+1的坐標(biāo)分別是：

 （x_n，x_n+）,（x_n+1, x_n+）.

由P_n+1在直線(xiàn)l₁上，得x_n+=kx_n+1+1－k，

所以（x_n－1）=k（x_n+1－1）.

即x_n+1－1= （x_n－1）,n∈N*.

 

（Ⅱ）解:由題設(shè)知x₁=1－,x₁－1=－≠0,又由（Ⅰ）知x_n+1－1=（x_n－1）,

所以數(shù)列｛x_n－1｝是首項(xiàng)為x₁－1,公比為的等比數(shù)列.

從而x_n－1=－×（）^n－1,即x_n=1－2×（）ⁿ,n∈N*.

 

（Ⅲ）解:由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,1）.

所以2|PP_n|²=2（x_n－1）²+2（kx_n+1－k－1）²=8×（）²ⁿ+2（）^2n－2,

4k²|PP₁|²+5=4k²［（1－－1）²+（0－1）²］+5=4k²+9.

（�。┊�(dāng)|k|＞,即k＜－或k＞時(shí)，4k²|PP₁|²+5＞1+9=10，

而此時(shí)0＜||＜1,所以2|PP_n|²＜8×1+2=10.故2|PP_n|²＜4k²|PP₁|²+5.

（ⅱ）當(dāng)0＜|k|＜,即k∈（－,0）∪（0,）時(shí)，4k²|PP₁|²+5＜1+9=10，

而此時(shí)||＞1,所以2|PP_n|²＞8×1+2=10.故2|PP_n|²＞4k²|PP₁|²+5.