Question

已知點(diǎn)M（3，1），直線l：ax-y+4=0及圓C：x²+y²-2x-4y+1=0
（1）求經(jīng)過M點(diǎn)的圓C的切線方程；
（2）若直線l與圓C相切，求a的值；
（3）若直線l與圓C相交與A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長為2

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求經(jīng)過M點(diǎn)的圓C的切線方程；
（2）利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求出a的值；
（3）利用弦心距與半徑，半弦長的關(guān)系，即可求出a的值．

解答：解：（1）圓方程化為（x-1）²+（y-2）²=4
∴圓心（1，2），半徑為2
斜率不存在時(shí)，經(jīng)過M點(diǎn)的直線方程為x=3，滿足題意；
設(shè)經(jīng)過M點(diǎn)的圓C的切線方程為y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0
∴d=

|k-2-3k+1|

k2+1

=2
∴k=

3

4

∴切線方程為3x-4y-5=0
綜上，經(jīng)過M點(diǎn)的圓C的切線方程為x=3和3x-4y-5=0；
（2）∵直線l與圓C相切，∴

|a-2+4|

a2+1

=2，解得a=0或a=

4

3

；
（3）圓心（1，2）到直線ax-y+4=0的距離為

|a+2|

a2+1

，
∵直線l與圓C相交與A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長為2

3

，
∴（

|a+2|

a2+1

）²+（

2 3

2

）²=4，解得a=-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓心到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．