Question

如圖，已知橢圓的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P、Q兩點，且，求證：直線l過定點，并求出該定點N的坐標．

Answer 1

解：（Ⅰ）將圓M的一般方程x²+y²-6x-2y+7=0化為標準方程（x-3）²+（y-1）²=3，
圓M的圓心為M（3，1），半徑．（1分）
由A（0，1），
得直線，即x+cy-c=0，（2分）
由直線AF與圓M相切，得，或（舍去）．（4分）
當時，a²=c²+1=3，故橢圓C的方程為．（5分）

（Ⅱ）由，知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標軸不垂直，（6分）
由A（0，1）可設直線AP的方程為y=kx+1，直線AQ的方程為（7分）
將y=kx+1代入橢圓C的方程并整理得：（1+3k²）x²+6kx=0，
解得x=0或，因此P的坐標為，
即-（9分）
將上式中的k換成，得Q．-（10分）
直線l的方程為
（11分）
化簡得直線l的方程為，（13分）
因此直線l過定點（14分）
分析：（Ⅰ）由題設知圓心M（3，1），半徑．由A（0，1），得直線，由直線AF與圓M相切，得，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由，知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標軸不垂直，由A（0，1）可設直線AP的方程為y=kx+1，直線AQ的方程為．將y=kx+1代入橢圓C的方程并整理得：（1+3k²）x²+6kx=0，解得x=0或，因此P的坐標為，由此能證明直線l過定點，并能求出該定點N的坐標．
點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關系，解題時要認真審題，注意公式的靈活運用．