Question

（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問7分．）

如題（19）圖，在四面體中，平面平面，，，．

   （Ⅰ）若，，求四面體的體積；

   （Ⅱ）若二面角為，求異面直線與所成角的余弦值．

Answer 1

（本題12分）

   （I）解：如答（19）圖1，設(shè)F為AC的中點(diǎn)，由于AD=CD，所以DF⊥AC.

故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，

即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，

且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=.

在Rt△ABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，

由勾股定理易知

故四面體ABCD的體積

   （II）解法一：如答（19）圖1，設(shè)G，H分別為邊CD，BD的中點(diǎn)，則FG//AD，GH//BC，從而∠FGH是異面直線AD與BC所成的角或其補(bǔ)角.

    設(shè)E為邊AB的中點(diǎn)，則EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC，

    故由三垂線定理知DE⊥AB.

所以∠DEF為二面角C—AB—D的平面角，由題設(shè)知∠DEF=60°

設(shè)

在

從而

因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，從而，在Rt△BDF中，，

又從而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得

因此，異面直線AD與BC所成角的余弦值為

解法二：如答（19）圖2，過F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，

平面ABC⊥平面ACD，易知FC，F(xiàn)D，F(xiàn)M兩兩垂直，以F為原點(diǎn)，射線FM，F(xiàn)C，F(xiàn)D分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系F—xyz.

不妨設(shè)AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)分別為

顯然向量是平面ABC的法向量.

已知二面角C—AB—D為60°，

故可取平面ABD的單位法向量，

使得

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，有

易知與坐標(biāo)系的建立方式不合，舍去.

因此點(diǎn)B的坐標(biāo)為所以

從而

故異面直線AD與BC所成的角的余弦值為