Question

已知半徑為5的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標是整數(shù)，且與直線相切．
求：（1）求圓的方程；
（2）設(shè)直線與圓相交于兩點，求實數(shù)的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦？
若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）
（3）

試題分析：（1）設(shè)圓心為（）,利用直線與圓相切的位置關(guān)系，根據(jù)點到直線的距離公式列方程解得的值，從而確定圓的方程；
（2）直線與圓交于不同的兩點，利用圓心到直線的距離小于圓的半徑列不等式從而解出實數(shù)的取值范圍；
（3）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，垂直平分弦的直線必過圓心，從而由兩點確定直線的斜率，進一步由兩直線垂直的條件確定實數(shù)的值.
試題解析：（1）設(shè)圓心為（）．
由于圓與直線相切，且半徑為，所以，，
即．因為為整數(shù)，故．
故所求的圓的方程是．
（2）直線即．代入圓的方程，消去整理，得
．由于直線交圓于兩點，
故，即，解得 ，或．
所以實數(shù)的取值范圍是．
（3）設(shè)符合條件的實數(shù)存在，由（2）得，則直線的斜率為，
的方程為，即．
由于垂直平分弦，故圓心必在上．
所以，解得．由于，
所以存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦.