設(shè)a,b,c是互不相等的正數(shù),則在四個不等式:
(1)|a-b|≤|a-c|+|b-c|;     
(2)a2+
1
a2
≥a+
1
a
;
(3)|a-b|+
1
a-b
≥2
;         
(4)
a+3
-
a+1
a+2
-
a

其中恒成立的有______(把你認為正確的答案的序號都填上)
(1):|a-b|=|a-c+c-b|≤|a-c|+|c-b|=|a-c|+|b-c|,故(1)恒成立
(2):由于由于函數(shù)f(x)=x+
1
x
在(0,1]單調(diào)遞減,在[1,+∞)單調(diào)遞增
當(dāng)a>1時,a2>a>1,f(a2)>f(a)即,a2+
1
a2
>a+
1
a
,
當(dāng)0<a<1,0<a2<a<1,f(a2)>f(a)即a2+
1
a2
>a+
1
a
,
當(dāng)a=1,a2+
1
a2
>a+
1
a

故(2)恒成立;
(3):若a-b=-1,則該不等式不成立,故(3)不恒成立;
(4):由于
a+3
-
a+1
=
2
a+3
+
a+1
2
a+2
+
a
=
a+2
-
a
.故C恒成立.
故答案為 (1)(2)(4)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆安徽省高二下學(xué)期期中考試理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù).若用反證法證明三個方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根.

【解析】本試題主要考查了二次方程根的問題的綜合運用。運用反證法思想進行證明。

先反設(shè),然后推理論證,最后退出矛盾。證明:假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根,

則Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0

相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.顯然不成立。

證明:假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根,

則Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0.

相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.                                      ①

由題意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.

∴假設(shè)不成立,即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)a、b、c是互不相等的非零實數(shù),試證:三個方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有一個方程有兩個相異實根.

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